Théorème de Bernoulli pour des fluides parfaits

On part de l'équation dynamique (l'équation d'Euler):

Et on tient compte des hypothèses :

Démonstration

On obtient en remplaçant dans l'équation dynamique :

Considérons une ligne de courant et prenons la circulation élémentaire des deux termes précédents :

On remarque que le deuxième terme est nul (  et    sont colinéaires)

.

Résultat

On obtient donc :

En utilisant le théorème du gradient, il vient :

L'analyse du résultat montre que l'unité est le pascal (soit le joule par mètre cube). La somme de ces trois termes représente donc l'énergie mécanique du fluide par unité de volume et celle-ci est constante le long d'une ligne de courant.

En général, les forces de volume sont les forces de pesanteur et le potentiel U s'écrit U = ρgz avec g l'accélération de la pesanteur et z la position de la particule de fluide considérée.

Conclusion

La relation de Bernoulli s'écrit donc :

Elle s'applique, dans le cas de fluide parfait, incompressible en mouvement permanent, dans le cas où les forces de volume sont les forces de pesanteur avec des parois fixes et sans échange de chaleur avec l'extérieur.

Signification physique : c'est une équation de conservation de l'énergie.

Multiplions tous les termes de l’équation de Bernoulli par un volume V :

pV + ρgzV + (1/2)ρv²V = cste.V

• pV est le travail des forces de pression : c’est l’énergie potentielle due aux forces de pression,
• ρgzV = mgz est l’énergie potentielle due aux forces de pesanteur,
• (1/2)ρv²V = (1/2)mv² est l’énergie cinétique,
• cste.V = E_m est l’énergie mécanique totale.

Par conséquent,  p + ρgz + (1/2)ρv² = E_m /V  correspond à une énergie mécanique par unité de volume.
L’énergie mécanique reste alors constante le long d’une ligne de courant (il n’y a pas de dissipation
d’énergie).

 

 

L’équation de Bernoulli peut également s’interpréter en termes de pression (énergie par unité de volume) :

•  p est la pression statique (elle existe même s’il n’y a pas de mouvement),
•  p + ρgz est la pression motrice ; elle génère le mouvement (ρgz est la pression de pesanteur),
• (1/2)ρv² est la pression cinétique (ou pression dynamique) ; elle résulte du mouvement,
• p + ρgz + ρ = p_t est la pression totale.

L’équation de Bernoulli montre alors que la pression totale reste constante le long d’une même ligne de courant (il n’y a pas de perte de pression dans l’écoulement d’un fluide parfait).


 

 

 

Dans le langage des mécaniciens des fluides, l'énergie mécanique du fluide représentée par la somme des trois termes de la relation de Bernoulli est appelée charge de l'écoulement. 

L'écriture de la relation de Bernoulli en mètre montre que l'on peut faire une interprétation graphique :

 

• la ligne d’altitude qui représente la trajectoire du fluide,
• la ligne piézométrique, distante de la trajectoire de la quantité p/ρg, est la hauteur caractérisant une colonne de fluide mesurant la pression,
• v²/2g est la hauteur cinétique : c'est la hauteur d'où doit tomber une particule de fluide pour acquérir la vitesse V = (2gh) ^1/2.
• la ligne de charge est obtenue en ajoutant v²/2g à la ligne piézométrique. Le théorème de Bernoulli conduit à une ligne de charge horizontale (charge totale = cte). Il n’y a pas de perte de charge dans l’écoulement d’un fluide parfait.

 

 

REMARQUE: 

Dans le cas des fluides réels (ayant une viscosité), la ligne de charge ne sera pas horizontale mais décroissante, cette décroissance indiquera les pertes de charge dans le champ de l'écoulement (les pertes d'énergie).